ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন উন্মোচন: ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম বিশ্লেষণের একটি সম্পূর্ণ নির্দেশিকা

একটি সিম্ফনি অর্কেস্ট্রার কথা কল্পনা করুন। আপনার কান শুধু একটি একক, জট পাকানো শব্দের দেয়ালকে সময়ের সাথে সাথে ওঠানামা করা আয়তনে উপলব্ধি করে না। বরং, আপনি সেলোর গভীর, অনুরণনকারী নোট, বেহালার তীক্ষ্ণ, পরিষ্কার সুর এবং ট্রাম্পেটের উজ্জ্বল ডাক আলাদাভাবে চিনতে পারেন। আপনি মূলত ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণের একটি প্রাকৃতিক রূপ সম্পাদন করছেন। আপনি একটি জটিল সিগনাল—অর্কেস্ট্রার সঙ্গীতকে—এর উপাদান অংশগুলিতে বিভক্ত করছেন। যে গাণিতিক সরঞ্জামটি বিজ্ঞানী, প্রকৌশলী এবং বিশ্লেষকদের যেকোনো সিগনালের সাথে এটি করতে সাহায্য করে তা হলো ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম।

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম এযাবৎকালে বিকশিত সবচেয়ে গভীর এবং বহুমুখী গাণিতিক ধারণাগুলির মধ্যে একটি। এটি এমন একটি লেন্স সরবরাহ করে যার মাধ্যমে আমরা বিশ্বকে সময়ের সাথে ঘটে যাওয়া ঘটনাগুলির একটি সিরিজ হিসাবে নয়, বরং বিশুদ্ধ, চিরন্তন কম্পনগুলির সংমিশ্রণ হিসাবে দেখতে পারি। এটি একটি সিগনাল বোঝার দুটি মৌলিক পদ্ধতির মধ্যে একটি সেতুবন্ধন: টাইম ডোমেইন এবং ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন। এই ব্লগ পোস্টটি আপনাকে সেই সেতু পার করিয়ে দেবে, ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মকে রহস্যমুক্ত করবে এবং বিশ্বজুড়ে বিস্তৃত শিল্পগুলিতে সমস্যা সমাধানের এর অবিশ্বাস্য ক্ষমতা অন্বেষণ করবে।

সিগনাল কী? টাইম ডোমেইন দৃষ্টিকোণ

ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনকে উপলব্ধি করার আগে, আমাদের প্রথমে এর প্রতিরূপকে বুঝতে হবে: টাইম ডোমেইন। এটি এমন একটি উপায় যেখানে আমরা বেশিরভাগ ঘটনাকে স্বাভাবিকভাবে অনুভব করি এবং রেকর্ড করি। টাইম ডোমেইন একটি সিগনালকে নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে নেওয়া পরিমাপের একটি সিরিজ হিসাবে উপস্থাপন করে।

এই উদাহরণগুলি বিবেচনা করুন:

• একটি অডিও রেকর্ডিং: একটি মাইক্রোফোন সময়ের সাথে বাতাসের চাপের পরিবর্তনগুলি ধারণ করে। এর একটি প্লট y-অক্ষে অ্যামপ্লিটিউড (শব্দের তীব্রতার সাথে সম্পর্কিত) এবং x-অক্ষে সময় দেখাবে।
• একটি স্টক মূল্যের চার্ট: এটি y-অক্ষে একটি স্টকের মান বনাম x-অক্ষে সময় (দিন, ঘন্টা, মিনিট) প্লট করে।
• একটি ইলেক্ট্রোকার্ডিওগ্রাম (ECG/EKG): এই চিকিৎসা ডায়াগনস্টিক টুলটি হৃদপিণ্ডের বৈদ্যুতিক কার্যকলাপ রেকর্ড করে, যা সময়ের সাথে ভোল্টেজের ওঠানামা দেখায়।
• একটি সিসমিক রিডিং: একটি সিসমোগ্রাফ ভূমিকম্পের সময় সময়ের সাথে ভূকম্পন পরিমাপ করে।

টাইম ডোমেইন স্বজ্ঞাত এবং অপরিহার্য। এটি আমাদের বলে যে কখন কিছু ঘটেছে এবং কী তীব্রতা সহকারে। তবে, এর উল্লেখযোগ্য সীমাবদ্ধতা রয়েছে। টাইম ডোমেইনে একটি জটিল অডিও ওয়েভফর্ম দেখলে, পৃথক বাদ্যযন্ত্রের নোট, একটি লো-ফ্রিকোয়েন্সি গুঞ্জন, বা কোনো যন্ত্রকে তার অনন্য টিম্বার প্রদানকারী হারমোনিক কাঠামো চিহ্নিত করা প্রায় অসম্ভব। আপনি চূড়ান্ত, মিশ্র ফলাফল দেখতে পান, কিন্তু উপাদানগুলি লুকানো থাকে।

ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে প্রবেশ: ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের পেছনের 'কেন'

এখানেই জ্যাঁ-ব্যাপটিস্ট জোসেফ ফুরিয়ারের প্রতিভা কাজে লাগে। ১৯ শতকের গোড়ার দিকে, তিনি একটি বিপ্লবী ধারণা প্রস্তাব করেছিলেন: যেকোনো জটিল সিগনাল, তা যতই জটিল হোক না কেন, বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সি, অ্যামপ্লিটিউড এবং ফেজের একটি সিরিজের সহজ সাইন এবং কোসাইন তরঙ্গগুলিকে একসাথে যোগ করে তৈরি করা যেতে পারে।

এটি ফুরিয়ার বিশ্লেষণের মৌলিক নীতি। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম হলো গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ যা আমাদের টাইম-ডোমেইন সিগনাল নেয় এবং এটি তৈরি করার জন্য ঠিক কোন সাইন এবং কোসাইন তরঙ্গগুলির প্রয়োজন তা খুঁজে বের করে। এটি মূলত সিগনালের জন্য একটি 'রেসিপি' সরবরাহ করে।

এভাবে ভাবুন:

• টাইম ডোমেইন সিগনাল: প্রস্তুত, বেক করা কেক। আপনি এর স্বাদ নিতে পারেন এবং এর সামগ্রিক টেক্সচার বর্ণনা করতে পারেন, কিন্তু এর সঠিক গঠন জানেন না।
• ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম: রাসায়নিক বিশ্লেষণের প্রক্রিয়া যা আপনাকে বলে যে কেকের মধ্যে 500 গ্রাম ময়দা, 200 গ্রাম চিনি, 3টি ডিম ইত্যাদি রয়েছে।
• ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন উপস্থাপন (স্পেকট্রাম): উপাদানগুলির তালিকা এবং তাদের পরিমাণ। এটি আপনাকে মৌলিক ফ্রিকোয়েন্সিগুলি ('উপাদানগুলি') এবং তাদের সংশ্লিষ্ট অ্যামপ্লিটিউডগুলি ('পরিমাণগুলি') দেখায়।

টাইম ডোমেইন থেকে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে আমাদের দৃষ্টিকোণ পরিবর্তন করে, আমরা সম্পূর্ণ নতুন প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারি: এই সিগনালের প্রভাবশালী ফ্রিকোয়েন্সিগুলি কী কী? এতে কি কোনো অবাঞ্ছিত, উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি নয়েজ আছে? এই আর্থিক ডেটার মধ্যে কি কোনো পর্যায়ক্রমিক চক্র লুকানো আছে? উত্তরগুলি, যা প্রায়শই টাইম ডোমেইনে অদৃশ্য থাকে, ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে আশ্চর্যজনকভাবে স্পষ্ট হয়ে ওঠে।

জাদুর পেছনের গণিত: একটি মৃদু পরিচিতি

যদিও অন্তর্নিহিত গণিত কঠোর হতে পারে, মূল ধারণাগুলি সহজলভ্য। ফুরিয়ার বিশ্লেষণ বিভিন্ন মূল রূপে বিবর্তিত হয়েছে, যার প্রতিটি বিভিন্ন ধরণের সিগনালের জন্য উপযুক্ত।

ফুরিয়ার সিরিজ: পর্যায়ক্রমিক সিগনালগুলির জন্য

যাত্রা শুরু হয় ফুরিয়ার সিরিজ দিয়ে, যা নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে নিজেদের পুনরাবৃত্তি করে এমন সিগনালগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। একটি সিন্থেসাইজার থেকে একটি নিখুঁত বাদ্যযন্ত্রের নোট বা ইলেকট্রনিক্সে একটি আদর্শ স্কোয়ার ওয়েভের কথা ভাবুন। ফুরিয়ার সিরিজ বলে যে এই ধরনের একটি পর্যায়ক্রমিক সিগনালকে সাইন এবং কোসাইন তরঙ্গের একটি (সম্ভাব্য অসীম) সিরিজের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এই তরঙ্গগুলি সবই একটি মৌলিক ফ্রিকোয়েন্সির পূর্ণসংখ্যার গুণিতক। এই গুণিতকগুলিকে হারমোনিক্স বলা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, একটি স্কোয়ার ওয়েভ একটি মৌলিক সাইন তরঙ্গের সাথে এর তৃতীয়, পঞ্চম, সপ্তম এবং পরবর্তী বিজোড় হারমোনিকের ক্ষুদ্র পরিমাণ যোগ করে তৈরি করা যেতে পারে। আপনি যত বেশি হারমোনিক যোগ করবেন, ফলস্বরূপ যোগফল তত বেশি একটি নিখুঁত স্কোয়ার ওয়েভের মতো হবে।

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম: অ-পর্যায়ক্রমিক সিগনালগুলির জন্য

কিন্তু যে সিগনালগুলি পুনরাবৃত্তি হয় না, যেমন একটি একক হাততালি বা একটি সংক্ষিপ্ত বক্তৃতা খণ্ড, সেগুলির ক্ষেত্রে কী হবে? এগুলির জন্য, আমাদের ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম প্রয়োজন। এটি ফুরিয়ার সিরিজের ধারণাকে অ-পর্যায়ক্রমিক সিগনালগুলিতে সাধারণীকরণ করে সেগুলিকে এমনভাবে বিবেচনা করে যেন তাদের পর্যায় অসীম দীর্ঘ। হারমোনিকের একটি বিচ্ছিন্ন যোগফলের পরিবর্তে, ফলাফলটি স্পেকট্রাম নামক একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, যা সিগনালে অবদানকারী প্রতিটি সম্ভাব্য ফ্রিকোয়েন্সির অ্যামপ্লিটিউড এবং ফেজ দেখায়।

ডিসক্রিট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (DFT): ডিজিটাল বিশ্বের জন্য

আমাদের আধুনিক বিশ্বে, আমরা খুব কমই অবিচ্ছিন্ন, অ্যানালগ সিগনাল নিয়ে কাজ করি। পরিবর্তে, আমরা ডিজিটাল ডেটা নিয়ে কাজ করি—যে সিগনালগুলি সময়ের বিচ্ছিন্ন পয়েন্টগুলিতে নমুনা করা হয়েছে। ডিসক্রিট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (DFT) হলো ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের সংস্করণ যা এই ডিজিটাল বাস্তবতার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। এটি ডেটা পয়েন্টের একটি সীমিত ক্রম নেয় (যেমন, এক সেকেন্ডের অডিও ক্লিপের নমুনাগুলি) এবং ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলির একটি সীমিত ক্রম ফিরিয়ে দেয়। DFT হলো ফুরিয়ার এর তাত্ত্বিক বিশ্ব এবং কম্পিউটারগুলির ব্যবহারিক বিশ্বের মধ্যে সরাসরি যোগসূত্র।

ফাস্ট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (FFT): আধুনিক সিগনাল প্রসেসিংয়ের ইঞ্জিন

সরাসরি DFT গণনা করা কম্পিউটেশনালি নিবিড়। 'N' নমুনা সহ একটি সিগনালের জন্য, প্রয়োজনীয় গণনার সংখ্যা N² এর অনুপাতে বৃদ্ধি পায়। 44.1 kHz (44,100 নমুনা) এ নমুনা করা মাত্র এক সেকেন্ডের একটি অডিও ক্লিপের জন্য, এর জন্য বিলিয়ন বিলিয়ন গণনা প্রয়োজন হবে, যা রিয়েল-টাইম বিশ্লেষণকে অসম্ভব করে তুলবে। ফাস্ট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (FFT) এর বিকাশের সাথে যুগান্তকারী পরিবর্তন আসে। FFT কোনো নতুন ট্রান্সফর্ম নয়, বরং DFT গণনার জন্য একটি অসাধারণ দক্ষ অ্যালগরিদম। এটি গণনার জটিলতাকে N*log(N) এ হ্রাস করে, একটি বিশাল উন্নতি যা ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মকে একটি তাত্ত্বিক কৌতূহল থেকে আধুনিক ডিজিটাল সিগনাল প্রসেসিং (DSP) এর শক্তিকেন্দ্রে রূপান্তরিত করেছে।

ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনকে দৃশ্যমান করা: স্পেকট্রাম বোঝা

একটি FFT এর আউটপুট হলো জটিল সংখ্যাগুলির একটি সেট। যদিও এই সংখ্যাগুলিতে সমস্ত তথ্য থাকে, তবে সেগুলি সরাসরি ব্যাখ্যা করা সহজ নয়। পরিবর্তে, আমরা সেগুলিকে স্পেকট্রাম বা স্পেকট্রোগ্রাম নামক একটি প্লটে দৃশ্যমান করি।

• x-অক্ষ ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিনিধিত্ব করে, সাধারণত হার্টজ (Hz) এ পরিমাপ করা হয়, যার অর্থ প্রতি সেকেন্ডে চক্র।
• y-অক্ষ প্রতিটি ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানের পরিমাণ (বা অ্যামপ্লিটিউড) প্রতিনিধিত্ব করে। এটি আমাদের সেই নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি কতটা বিদ্যমান।

কিছু উদাহরণ দেখা যাক:

• একটি বিশুদ্ধ সাইন তরঙ্গ: একটি সিগনাল যা একটি নিখুঁত 440 Hz সাইন তরঙ্গ ('A' বাদ্যযন্ত্রের নোট) টাইম ডোমেইনে একটি মসৃণ, পুনরাবৃত্ত তরঙ্গ হিসাবে প্রদর্শিত হবে। ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে, এর স্পেকট্রাম অবিশ্বাস্যভাবে সহজ হবে: ঠিক 440 Hz এ একটি একক, তীক্ষ্ণ স্পাইক এবং আর কিছুই নয়।
• একটি স্কোয়ার ওয়েভ: পূর্বে উল্লিখিত হিসাবে, একটি 100 Hz স্কোয়ার ওয়েভ তার 100 Hz মৌলিক ফ্রিকোয়েন্সিতে একটি বড় স্পাইক দেখাবে, তারপরে এর বিজোড় হারমোনিক্সে ছোট স্পাইক: 300 Hz, 500 Hz, 700 Hz, এবং আরও অনেক কিছু, ফ্রিকোয়েন্সি বাড়ার সাথে সাথে এই হারমোনিকগুলির অ্যামপ্লিটিউড হ্রাস পাবে।
• হোয়াইট নয়েজ: এলোমেলো নয়েজ (পুরোনো অ্যানালগ টিভির স্ট্যাটিকের মতো) প্রতিনিধিত্বকারী একটি সিগনাল সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সিতে সমান শক্তি ধারণ করে। এর স্পেকট্রাম পুরো ফ্রিকোয়েন্সি পরিসরে একটি তুলনামূলকভাবে সমতল, উঁচু রেখার মতো দেখাবে।
• মানুষের কথা: একটি কথিত শব্দের স্পেকট্রাম জটিল হবে, বক্তার কণ্ঠের মৌলিক ফ্রিকোয়েন্সি এবং এর হারমোনিক্সে (যা পিচ নির্ধারণ করে) শিখর দেখাবে, সেইসাথে বিভিন্ন স্বর এবং ব্যঞ্জনবর্ণের শব্দের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ বিস্তৃত ফ্রিকোয়েন্সি ক্লাস্টার দেখাবে।

বৈশ্বিক শিল্পগুলিতে ব্যবহারিক প্রয়োগ

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের আসল সৌন্দর্য তার সর্বব্যাপীতার মধ্যে নিহিত। এটি অসংখ্য প্রযুক্তিতে ব্যবহৃত একটি মৌলিক সরঞ্জাম যা আমাদের দৈনন্দিন জীবনকে রূপ দেয়, আমরা বিশ্বের যেখানেই থাকি না কেন।

অডিও ইঞ্জিনিয়ারিং এবং সঙ্গীত উৎপাদন

এটি সম্ভবত সবচেয়ে স্বজ্ঞাত প্রয়োগ। প্রতিটি অডিও মিক্সিং কনসোল এবং ডিজিটাল অডিও ওয়ার্কস্টেশন (DAW) ফ্রিকোয়েন্সি ম্যানিপুলেশনের উপর ভিত্তি করে তৈরি।

• ইকুয়ালাইজার (EQ): একটি EQ হলো ফুরিয়ার বিশ্লেষণের একটি প্রত্যক্ষ প্রয়োগ। এটি একজন প্রকৌশলীকে একটি ট্র্যাকের ফ্রিকোয়েন্সি স্পেকট্রাম দেখতে এবং নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি ব্যান্ডগুলি বাড়াতে বা কমাতে অনুমতি দেয়—উদাহরণস্বরূপ, 200-300 Hz এর আশেপাশে একটি নোংরা শব্দ কমানো বা 10 kHz এর উপরে ফ্রিকোয়েন্সি বাড়িয়ে 'বায়ু' এবং স্পষ্টতা যোগ করা।
• নয়েজ রিডাকশন: বিশ্বব্যাপী একটি সাধারণ সমস্যা হলো পাওয়ার লাইন থেকে আসা বৈদ্যুতিক গুঞ্জন, যা কিছু অঞ্চলে (যেমন, উত্তর আমেরিকা) 60 Hz এ এবং অন্যগুলিতে (যেমন, ইউরোপ, এশিয়া) 50 Hz এ ঘটে। একটি FFT ব্যবহার করে, এই নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সিটি চিহ্নিত করা যায় এবং অস্ত্রোপচারের নির্ভুলতার সাথে ফিল্টার করা যায়, যা অডিওর বাকি অংশকে প্রভাবিত না করে রেকর্ডিং পরিষ্কার করে।
• অডিও প্রভাব: অটো-টিউনের মতো পিচ সংশোধক সরঞ্জামগুলি একজন গায়কের কণ্ঠের প্রভাবশালী ফ্রিকোয়েন্সি খুঁজে বের করতে এবং এটিকে নিকটতম পছন্দসই বাদ্যযন্ত্রের নোটে স্থানান্তরিত করতে FFT ব্যবহার করে।

টেলিযোগাযোগ

আধুনিক যোগাযোগ ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ছাড়া অসম্ভব। এটি আমাদের একটি একক চ্যানেলের মাধ্যমে একাধিক সিগনাল হস্তক্ষেপ ছাড়াই পাঠাতে দেয়।

• মড্যুলেশন: রেডিও একটি লো-ফ্রিকোয়েন্সি অডিও সিগনাল নিয়ে এবং এটিকে একটি উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি রেডিও তরঙ্গে (ক্যারিয়ার ফ্রিকোয়েন্সি) 'বহন' করে কাজ করে। এই প্রক্রিয়াকে মড্যুলেশন বলা হয় এবং এটি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন নীতিগুলিতে গভীরভাবে প্রোথিত।
• OFDM (Orthogonal Frequency-Division Multiplexing): এটি 4G, 5G, Wi-Fi এবং ডিজিটাল টেলিভিশনের মতো আধুনিক মানগুলির পেছনের মূল প্রযুক্তি। একটি একক, দ্রুত ক্যারিয়ারে ডেটা প্রেরণ করার পরিবর্তে, OFDM ডেটাকে হাজার হাজার ধীর, কাছাকাছি অবস্থিত, অর্থোগোনাল সাব-ক্যারিয়ারে বিভক্ত করে। এটি সিগনালকে হস্তক্ষেপের বিরুদ্ধে অবিশ্বাস্যভাবে শক্তিশালী করে তোলে এবং এটি সম্পূর্ণরূপে FFT এবং তাদের ইনভার্স ব্যবহার করে পরিচালিত হয়।

চিকিৎসা ইমেজিং এবং ডায়াগনস্টিক্স

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম শক্তিশালী ডায়াগনস্টিক সরঞ্জাম সক্ষম করার মাধ্যমে জীবন বাঁচায়।

• ম্যাগনেটিক রেজোন্যান্স ইমেজিং (MRI): একটি MRI মেশিন শরীরের সরাসরি 'ছবি' তোলে না। এটি শক্তিশালী চৌম্বক ক্ষেত্র এবং রেডিও তরঙ্গ ব্যবহার করে টিস্যুগুলির স্থানিক ফ্রিকোয়েন্সি সম্পর্কে ডেটা সংগ্রহ করে। এই কাঁচা ডেটা, যা 'k-space' (ছবিগুলির জন্য ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন) নামে পরিচিত, তা একটি 2D ইনভার্স ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে একটি বিস্তারিত অ্যানাটমিকাল ছবিতে রূপান্তরিত হয়।
• ECG/EEG বিশ্লেষণ: মস্তিষ্কের তরঙ্গ (EEG) বা হৃদস্পন্দনের (ECG) ফ্রিকোয়েন্সি স্পেকট্রাম বিশ্লেষণ করে ডাক্তাররা নির্দিষ্ট অবস্থার নির্দেশক প্যাটার্ন চিহ্নিত করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, একটি EEG এর নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি ব্যান্ডগুলি ঘুমের বিভিন্ন পর্যায় বা মৃগীরোগের উপস্থিতির সাথে যুক্ত।

ইমেজ প্রসেসিং

যেমন একটি 1D সিগনালকে ফ্রিকোয়েন্সিতে বিভক্ত করা যায়, তেমনি একটি 2D চিত্রকে বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সি এবং ওরিয়েন্টেশনের 2D সাইন/কোসাইন তরঙ্গে বিভক্ত করা যেতে পারে।

• ইমেজ কম্প্রেশন (JPEG): JPEG ফর্ম্যাট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের একটি চমৎকার ব্যবহার (বিশেষত, ডিসক্রিট কোসাইন ট্রান্সফর্ম নামক একটি সম্পর্কিত ট্রান্সফর্ম)। একটি চিত্রকে ছোট ব্লকে বিভক্ত করা হয় এবং প্রতিটি ব্লককে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে রূপান্তরিত করা হয়। উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলি, যা সূক্ষ্ম বিশদের সাথে মিলে যায় এবং মানুষের চোখ এগুলির প্রতি কম সংবেদনশীল, সেগুলি কম নির্ভুলতার সাথে সংরক্ষণ করা যেতে পারে বা সম্পূর্ণরূপে বাতিল করা যেতে পারে। এটি গুণমানের ন্যূনতম উপলব্ধিযোগ্য ক্ষতি সহ বিশাল ফাইল আকার হ্রাসের অনুমতি দেয়।
• ফিল্টারিং এবং এনহ্যান্সমেন্ট: ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে, কম ফ্রিকোয়েন্সিগুলি একটি চিত্রের মসৃণ, ধীরে ধীরে পরিবর্তনগুলির সাথে মিলে যায়, যখন উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সিগুলি তীক্ষ্ণ প্রান্ত এবং বিশদের সাথে মিলে যায়। একটি চিত্রকে ঝাপসা করতে, ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে একটি লো-পাস ফিল্টার প্রয়োগ করা যেতে পারে (উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সিগুলি অপসারণ করে)। একটি চিত্রকে তীক্ষ্ণ করতে, উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সিগুলি বাড়ানো যেতে পারে।

মূল ধারণা এবং সাধারণ ভুল

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম কার্যকরভাবে ব্যবহার করতে, কিছু মৌলিক নীতি এবং সম্ভাব্য চ্যালেঞ্জ সম্পর্কে সচেতন থাকা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

নাইকুইস্ট-শ্যানন স্যাম্পলিং থিওরিম

এটি ডিজিটাল সিগনাল প্রসেসিংয়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ একক নিয়ম। এটি বলে যে একটি সিগনালকে ডিজিটালভাবে সঠিকভাবে ধারণ করতে, আপনার স্যাম্পলিং রেট সিগনালে উপস্থিত সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সির কমপক্ষে দ্বিগুণ হতে হবে। এই ন্যূনতম স্যাম্পলিং রেটকে নাইকুইস্ট রেট বলা হয়।

যদি আপনি এই নিয়ম লঙ্ঘন করেন, তাহলে এলিয়াজিং নামক একটি ঘটনা ঘটে। উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি যা যথেষ্ট দ্রুত নমুনা করা হয় না তা 'ফোল্ড ওভার' হবে এবং আপনার ডেটাতে মিথ্যাভাবে কম ফ্রিকোয়েন্সি হিসাবে প্রদর্শিত হবে, যা এমন একটি মায়া তৈরি করে যা পূর্বাবস্থায় ফেরানো অসম্ভব। এই কারণেই সিডিগুলি 44.1 kHz এর একটি স্যাম্পলিং রেট ব্যবহার করে—এটি মানুষের শোনার সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সির (প্রায় 20 kHz) দ্বিগুণেরও বেশি, এইভাবে শ্রবণযোগ্য পরিসরে এলিয়াজিং প্রতিরোধ করে।

উইন্ডোয়িং এবং স্পেকট্রাল লিকেজ

FFT ধরে নেয় যে আপনি যে ডেটার সীমিত অংশ সরবরাহ করেন তা একটি অসীম পুনরাবৃত্ত সিগনালের একটি পর্যায়। যদি আপনার সিগনাল সেই অংশের মধ্যে পুরোপুরি পর্যায়ক্রমিক না হয় (যা প্রায় সবসময়ই হয়), তাহলে এই অনুমান সীমানায় তীক্ষ্ণ বিচ্ছিন্নতা তৈরি করে। এই কৃত্রিম তীক্ষ্ণ প্রান্তগুলি আপনার স্পেকট্রামে জাল ফ্রিকোয়েন্সি প্রবর্তন করে, যা স্পেকট্রাল লিকেজ নামে পরিচিত একটি ঘটনা। এটি আপনি যে আসল ফ্রিকোয়েন্সিগুলি পরিমাপ করার চেষ্টা করছেন তা অস্পষ্ট করতে পারে।

সমাধান হলো উইন্ডোয়িং। একটি উইন্ডো ফাংশন (যেমন হ্যান বা হ্যামিং উইন্ডো) হলো একটি গাণিতিক ফাংশন যা টাইম-ডোমেইন ডেটাতে প্রয়োগ করা হয়। এটি সিগনালকে শুরু এবং শেষে মসৃণভাবে শূন্যে নিয়ে আসে, কৃত্রিম বিচ্ছিন্নতা হ্রাস করে এবং স্পেকট্রাল লিকেজ উল্লেখযোগ্যভাবে কমিয়ে দেয়, যার ফলে একটি পরিষ্কার, আরও নির্ভুল স্পেকট্রাম পাওয়া যায়।

ফেজ বনাম ম্যাগনিটিউড

যেমনটি উল্লেখ করা হয়েছে, একটি FFT এর আউটপুট হলো জটিল সংখ্যাগুলির একটি সিরিজ। এগুলি থেকে, আমরা প্রতিটি ফ্রিকোয়েন্সির জন্য দুটি মূল তথ্য পাই:

• ম্যাগনিটিউড: এটিই আমরা সাধারণত প্লট করি। এটি আমাদের সেই ফ্রিকোয়েন্সির শক্তি বা অ্যামপ্লিটিউড বলে।
• ফেজ: এটি আমাদের সেই ফ্রিকোয়েন্সির জন্য সাইন তরঙ্গের শুরুর অবস্থান বা অফসেট বলে।

যদিও ম্যাগনিটিউড স্পেকট্রাম প্রায়শই বিশ্লেষণের কেন্দ্রবিন্দু হয়, ফেজ অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। সঠিক ফেজ তথ্য ছাড়া, আপনি আসল টাইম-ডোমেইন সিগনালকে পুনর্গঠন করতে পারবেন না। দুটি সিগনালের ম্যাগনিটিউড স্পেকট্রাম হুবহু একই হতে পারে কিন্তু তাদের ফেজ তথ্য ভিন্ন হওয়ায় তাদের শব্দ বা চেহারা সম্পূর্ণ ভিন্ন হতে পারে। ফেজ সিগনালের বৈশিষ্ট্যগুলির সমস্ত সময় এবং অবস্থানগত তথ্য ধারণ করে।

কার্যকরী অন্তর্দৃষ্টি: ফুরিয়ার বিশ্লেষণ দিয়ে কীভাবে শুরু করবেন

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহার শুরু করার জন্য আপনাকে গণিতবিদ হতে হবে না। প্রায় প্রতিটি প্রধান প্রোগ্রামিং এবং ডেটা বিশ্লেষণ পরিবেশে শক্তিশালী, অত্যন্ত অপ্টিমাইজড FFT লাইব্রেরি উপলব্ধ।

• পাইথন: `numpy.fft` মডিউল (যেমন, `np.fft.fft()`) এবং আরও ব্যাপক `scipy.fft` মডিউল বৈজ্ঞানিক গণনার জন্য শিল্প মান।
• MATLAB: এর অন্তর্নির্মিত `fft()` এবং `ifft()` ফাংশন রয়েছে যা এর সিগনাল প্রসেসিং টুলবক্সগুলির কেন্দ্রবিন্দু।
• R: `stats` প্যাকেজে টাইম সিরিজ বিশ্লেষণের জন্য একটি `fft()` ফাংশন রয়েছে।

একটি সাধারণ ওয়ার্কফ্লো এমন হতে পারে:

1. একটি সিগনাল অর্জন বা তৈরি করুন: একটি অডিও ফাইল লোড করুন, স্টক ডেটার একটি CSV, অথবা নিজেই একটি সিগনাল তৈরি করুন (যেমন, কিছু অতিরিক্ত নয়েজ সহ কয়েকটি সাইন তরঙ্গের সংমিশ্রণ)।
2. একটি উইন্ডো ফাংশন প্রয়োগ করুন: স্পেকট্রাল লিকেজ কমাতে আপনার সিগনালকে একটি উইন্ডো ফাংশন দ্বারা গুণ করুন (যেমন, `numpy.hanning()`)।
3. FFT গণনা করুন: আপনার নির্বাচিত লাইব্রেরি থেকে FFT ফাংশনটি আপনার উইন্ডোড সিগনালে প্রয়োগ করুন।
4. ম্যাগনিটিউড গণনা করুন: FFT আউটপুট জটিল সংখ্যা হবে। ম্যাগনিটিউড পেতে তাদের পরম মান (যেমন, `np.abs()`) গণনা করুন।
5. ফ্রিকোয়েন্সি অক্ষ তৈরি করুন: আপনার x-অক্ষের জন্য ফ্রিকোয়েন্সি মানগুলির একটি সংশ্লিষ্ট অ্যারে তৈরি করুন। ফ্রিকোয়েন্সিগুলি 0 থেকে নাইকুইস্ট ফ্রিকোয়েন্সি পর্যন্ত বিস্তৃত হবে।
6. প্লট এবং বিশ্লেষণ করুন: স্পেকট্রামকে দৃশ্যমান করতে ফ্রিকোয়েন্সি অক্ষের বিপরীতে ম্যাগনিটিউড প্লট করুন। শিখর, প্যাটার্ন এবং নয়েজ ফ্লোরগুলি খুঁজুন।

উপসংহার: একটি ভিন্ন দৃষ্টিকোণের স্থায়ী শক্তি

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম শুধু একটি গাণিতিক সরঞ্জাম নয়; এটি দেখার একটি নতুন উপায়। এটি আমাদের শেখায় যে জটিল ঘটনাগুলিকে সাধারণ, মৌলিক কম্পনগুলির একটি সিম্ফনি হিসাবে বোঝা যেতে পারে। এটি টাইম ডোমেইনে একটি জট পাকানো, বিশৃঙ্খল-দেখানো সিগনাল নেয় এবং এটিকে ফ্রিকোয়েন্সিগুলির একটি সুশৃঙ্খল, প্রকাশমূলক স্পেকট্রামে রূপান্তরিত করে।

আপনার ডিভাইসে এই শব্দগুলি বহনকারী Wi-Fi সিগনাল থেকে শুরু করে, মানবদেহের অভ্যন্তরে উঁকি দেওয়া মেডিকেল স্ক্যান পর্যন্ত, আর্থিক বাজারগুলি বুঝতে সাহায্যকারী অ্যালগরিদম পর্যন্ত, জোসেফ ফুরিয়ারের উত্তরাধিকার আমাদের আধুনিক প্রযুক্তিগত বিশ্বের কাঠামোতে প্রোথিত। ফ্রিকোয়েন্সির দিক থেকে চিন্তা করতে শেখার মাধ্যমে, আমরা একটি শক্তিশালী দৃষ্টিকোণ উন্মোচন করি, যা আমাদের চারপাশে থাকা ডেটার পৃষ্ঠের নীচে লুকানো শৃঙ্খলা এবং কাঠামো দেখতে সক্ষম করে।